这道超难的竞赛不等式是可以是高考导数题?

不少人认为2024年的北京数学邀请赛(szm上二试模拟11)P2非常困难.然而此题使用高中课内的思维其实可以轻易做出.

题1. 设实数 \(x_1, x_2, \cdots, x_{2024} \geq 1\)，满足 \[ x_1 + x_2 + \cdots + x_{2024} = X + 2024, \quad x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{2024}^2 = Y. \] 求证：\(x_1x_2 \cdots x_{2024} \geq 2024^{2024(X/Y)^2}\).

分析. 那当然要取对数了,取完不难想到要对\(\ln x\)作放缩.先想着用Taylor,\(\ln x\ge -\dfrac 1 2x^2+2x-\dfrac32(x\ge1)\),求和得到 \[ \begin{align*} \mathrm{LHS}&\ge\exp\left(\sum_{k=1}^{2024}\left(-\dfrac 1 2x_k^2+2x_k-\dfrac32\right)\right)\\ &=\exp(-\frac12Y+2X+1012)\not\ge\mathrm{RHS}. \end{align*} \] 我们完蛋了,这不够紧凑.为什么????因为Taylor展开尽管在\(1\)处很精确,它在稍微远一点的地方却是非常松的,但题目右边是\((X/Y)^2\)级别的东西,当然放不出来.

那就考虑一下Pade逼近,\(\ln x\ge\dfrac{2x-2}{x+1}(x\ge1)\),求和得 \[ \begin{align*} \mathrm{LHS}\ge&\exp\left(\sum_{k=1}^{2024}\left(\dfrac{2x_k-2}{x_k+1}\right)\right)\\ \overset{\text{Cauchy不等式}}{\ge}&\exp\left(\dfrac{2X^2}{Y-2024}\right). \end{align*} \] 这个看着就很有希望.只需证明 \[ \frac{2X^2}{Y-2024}\ge2024\ln2024\frac {X^2}{Y^2} \]

\[ \Leftrightarrow f(Y):=Y^2-1012\ln2024 Y+1012\times2024\ln2024\ge0. \]

看,我们消了\(X\)耶!

现在只要证

\(\Delta_{f(Y)}=(1012\ln2024)^2-4\times1012\times2024\ln 2024\le0\)

\(\Leftrightarrow \ln2024\le8\Leftrightarrow \mathrm{e}^8\ge2024.\)

我们知道\(\mathrm{e}^8=(\mathrm{e}^2)^4>7^4>45^2>2024,\)即证\(\square\)

这题这么松,真要证明却还是有难度的.

好了,这题加个引导就可以是高考题了(逃):

题1A. \(f(x)=(1+x)\ln x-ax+2\).

1. 讨论\(f(x)\)的单调性.

(2)设实数 \(x_1, x_2, \cdots, x_{2024} \geq 1\)，满足 \[ x_1 + x_2 + \cdots + x_{2024} = X + 2024, \quad x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_{2024}^2 = Y. \] 求证：\(x_1x_2 \cdots x_{2024} \geq 2024^{2024(X/Y)^2}\).