【持续更新】乖猪的原创题!

立体几何

第1题. 如图,正三棱锥 \(P-ABC\) 满足 \(PA=PB=PC\) ,\(AB=BC=CA\).球\(O\)分别与棱\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)相切于点\(A\)、\(B\)、\(C\).球\(O_1\)是过点\(A\)、\(B\)、\(C\)的另外一个球.点\(Q\) 是球\(O\)上的动点,线段\(QA\)、\(QB\)、\(QC\) 分别与球\(O_1\) 交于点\(A_1\)、\(B_1\)、\(C_1\).

证明:直线\(PQ\)经过\(\triangle A_1B_1C_1\)的外心.

(+鼠标拖动/滚轮:缩放;+鼠标拖动:移动;鼠标拖动:旋转)

根据纯几何吧上“幻灭十字剑”大佬的提示,本题中\(AB=BC=CA\)是多余条件,只要\(PA=PB=PC\)即可.

解三角形

第2题. 记\(\triangle ABC\)的内角\(A,B,C\)的对边分别为\(a,b,c\),\(\triangle ABC\)的外接圆半径是\(R\),内切圆半径是\(r\).

(1)设\(\mathrm{har'il}=\dfrac{1}{(a+b)(b+c)}+\dfrac{1}{(b+c)(c+a)}+\dfrac{1}{(c+a)(a+b)}\),证明:\[Rr\mathrm{har'il}\ge\frac16.\]

(2)若\(a=3,b=4\),求\(r\)的最大值.

集合

第3题. 对于集合 \(A=\left\{a_1,a_2,\cdots,a_n\right\} \subseteq \mathbb{N}_+\) 和正整数\(k>\mathrm{max}A\),若\(k\)除以\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)的余数之和为\(k\),则称\(A\)是有趣的.

(1)对任意\(k\in \mathbb{N}_+\),证明:不存在有趣的二元集合\(A\).

(2)若集合\(A\)是有趣的,设集合\(A\)的元素之和为\(S\),\(\mathrm{max}A=m\),用\(|A|\)表示集合\(A\)中元素个数.证明:\[S+1\ge 2M+|A|.\] 并写出等号成立的条件.

数论

第4题. 设\(\displaystyle f(n)=\max_{i\le n}\tau(i),n\in\mathbb{N}_+\),其中\(\displaystyle\tau(n)=\sum_{d|n}1\).记\(S\)为\(f(n)\)的值域.判断级数\(\displaystyle\sum_{x\in S}\frac1x\)收敛还是发散.